Probability Course in 2019 Spring

极限理论

大数定律

定义5.1
设$X_1,X_2,\cdots, X_n$为一列随机变量, 若存在随机变量$X$, 使得任意给定的$\epsilon>0$,
$$-$$
$$\lim_{n\to\infty}P(|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nEX_k|\geq\epsilon)=0$$
则称随机变量序列$\{X_n\}$依概率收敛于随机变量$X$, 记为$X_n\stackrel{P}{\to}X$
定义5.2
大数定律: 变量平均值依概率收敛于期望平均值
$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k\stackrel{P}{\to}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nEX_k$$
马尔可夫大数定律
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}D(\sum_{k=1}^nX_k)\to 0$$
切比雪夫大数定律
$$\exists C, \forall k, D(X_k)\leq C$$
独立同分布大数定律
$$X_k\textrm{独立同分布},EX_k=\mu,D(X_k)=\sigma^2<\infty$$
贝努里大数定律
事件$A$发生的频率依概率收敛到事件$A$发生的概率
$$\frac{\mu_n}{n}\stackrel{P}{\to}p$$