Probability Course in 2019 Spring

统计量与抽样分布

总体与样本

样本为了对总体$X$进行研究, 通常要从总体中随机地抽取一些个体, 这些个体就成为样本
抽样抽得样本的过程
样本容量 样本中个体的数量称为样本容量
样本值 设对总体进行了$n$次观测, 得到一组数据$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$
随机抽样的要求: 简单随机样本
1. 代表性
2. 独立性
3. 分布函数
  $$p(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod_{i=1}^np(x_i)$$

定义6.1
设$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$为总体$X$的一个样本, $T(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为不含任何未知参数的函数, 则称$T(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为一个统计量
样本均值
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i-1}^nX_i$$
样本方差
$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$$
$$S^{*2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-\bar{X}^2$$
样本标准差
$$S=\sqrt{S^2}$$

$\chi^2$分布
$X_i\sim N(0,1)$
$$\chi^2=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2(n)$$
$t$分布
$X\sim N(0,1), Y\sim\chi^2(n)$
$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$$
$F$分布
$U\sim\chi^2(n_1),V\sim\chi^2(n_2)$
$$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$$
上$\alpha$分位点$\lambda_\alpha$
$$P(X>\lambda_\alpha)=\alpha$$
要记忆的式子
- $$\bar{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$
- $$\frac{(n-1)S_{n-1}^2}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^n(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma})\sim\chi^2(n-1)$$
- $$\sum_{i=1}^n(\frac{X_i-\mu}{\sigma})\sim\chi^2(n)$$
- $\bar{X}$与$S_{n-1}^2$相互独立
- $$T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S_{n-1}}\sim t(n-1)$$
- $$T’=\frac{\sqrt{n-1}(\bar{X}-\mu)}{S_{n}}\sim t(n-1)$$
- $$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1)$$
- $$U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$

定理6.2
1. $\bar{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
2. $(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$
3. $\bar{X}$与$S^2$相互独立
推论6.1
$$T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$$
推论6.2
$$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$
推论6.3
$$T=\sqrt{\frac{n_1+n_2-2}{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}}\sim t(n_1+n_2-2)$$