Probability Course in 2019 Spring
参数估计
矩估计
- 计算步骤
- 求总体的各阶原点矩,用参数表示
μi=gi(θ1,θ2,⋯,θk)μi=gi(θ1,θ2,⋯,θk) - 解方程组,用总体矩表示参数
θi=hi(μ1,μ2,⋯,μk)θi=hi(μ1,μ2,⋯,μk) - 用样本的矩代替总体矩,得到参数的表示
θi=hi(μ1,μ2,⋯,μk)θi=hi(μ1,μ2,⋯,μk)
- 求总体的各阶原点矩,用参数表示
极大似然估计
- 计算步骤
- 列出以下式子
L(x1,x2,⋯,xn;ˆθ)=maxθ∈ΘL(x1,x2,⋯,xn;θ)=n∏i=1p(xi;θ)L(x1,x2,⋯,xn;^θ)=maxθ∈ΘL(x1,x2,⋯,xn;θ)=n∏i=1p(xi;θ) - 上式取对数, 得到似然方程组
∂lnL(θ)∂θ=n∑i=1∂lnp(xi;θ)∂θ=0∂lnL(θ)∂θ=n∑i=1∂lnp(xi;θ)∂θ=0 - 解出参数,注意参数本身的范围
- 列出以下式子
估计量的评价标准
- 无偏性
E[ˆθ(X1,X2,⋯,Xn)]=θE[^θ(X1,X2,⋯,Xn)]=θ - 均方误差
M(ˆθ,θ)=E(ˆθ−θ)2=D(ˆθ)+(Eˆθ−θ)2M(^θ,θ)=E(^θ−θ)2=D(^θ)+(E^θ−θ)2 - 一致性
ˆθnP→θ^θnP→θ- 无偏, 方差极限为0
区间估计
基本概念与枢纽变量法
- 区间估计
P(ˆθ1<θ<ˆθ1)=1−αP(^θ1<θ<^θ1)=1−α
分别为置信下限, 置信上限, 置信系数 - 计算方法
- 找一个样本函数, 包含待估参数, 并且分布已知
- 根据此分布, 找到常数aa, bb, 使得
P(a<U<b)=1−αP(a<U<b)=1−α - 利用不等式解出θθ范围
- 双边与单边
- 置信度1−α1−α
- 双边需要取α/2α/2或1−α/21−α/2
- 单边直接用αα或1−α1−α
- 区间估计
正态总体N(μ,σ2)N(μ,σ2)中均值μμ的置信区间
- σ2σ2已知
ˉX±uα/2σ√n¯X±uα/2σ√n - σ2σ2未知
ˉX±tα/2(n−1)×S√n¯X±tα/2(n−1)×S√n
- σ2σ2已知
- 正态总体N(μ,σ2)N(μ,σ2)中方差σ2σ2的置信区间
((n−1)S2χ2α/2(n−1),(n−1)S2χ21−α/2(n−1))((n−1)S2χ2α/2(n−1),(n−1)S2χ21−α/2(n−1)) - 两个正态总体N(μ1,σ21)N(μ1,σ21), N(μ2,σ22)N(μ2,σ22)中均值差μ1−μ2μ1−μ2的置信区间
- σ2iσ2i已知
ˉX−ˉY±uα/2√σ21n1+σ22n2¯X−¯Y±uα/2√σ21n1+σ22n2 - σ2iσ2i未知
ˉX−ˉY±tα/2(n1+n2−2)×Sw√1n1+1n2¯X−¯Y±tα/2(n1+n2−2)×Sw√1n1+1n2
Sw=√(n1−1)S21+(n2−1)S22n1−n2−2Sw=√(n1−1)S21+(n2−1)S22n1−n2−2
- σ2iσ2i已知
- 两个正态总体N(μ1,σ21)N(μ1,σ21), N(μ2,σ22)N(μ2,σ22)方差比σ21/σ22σ21/σ22的置信区间
(S21S221Fα/2(n1−1,n2−1),S21S221F1−α/2(n1−1,n2−1))(S21S221Fα/2(n1−1,n2−1),S21S221F1−α/2(n1−1,n2−1))
v1.5.2