Probability Course in 2019 Spring

参数估计

矩估计

  • 计算步骤
    1. 求总体的各阶原点矩,用参数表示
      μi=gi(θ1,θ2,,θk)μi=gi(θ1,θ2,,θk)
    2. 解方程组,用总体矩表示参数
      θi=hi(μ1,μ2,,μk)θi=hi(μ1,μ2,,μk)
    3. 用样本的矩代替总体矩,得到参数的表示
      θi=hi(μ1,μ2,,μk)θi=hi(μ1,μ2,,μk)

极大似然估计

  • 计算步骤
    1. 列出以下式子
      L(x1,x2,,xn;ˆθ)=maxθΘL(x1,x2,,xn;θ)=ni=1p(xi;θ)L(x1,x2,,xn;^θ)=maxθΘL(x1,x2,,xn;θ)=ni=1p(xi;θ)
    2. 上式取对数, 得到似然方程组
      lnL(θ)θ=ni=1lnp(xi;θ)θ=0lnL(θ)θ=ni=1lnp(xi;θ)θ=0
    3. 解出参数,注意参数本身的范围

估计量的评价标准

  1. 无偏性
    E[ˆθ(X1,X2,,Xn)]=θE[^θ(X1,X2,,Xn)]=θ
  2. 均方误差
    M(ˆθ,θ)=E(ˆθθ)2=D(ˆθ)+(Eˆθθ)2M(^θ,θ)=E(^θθ)2=D(^θ)+(E^θθ)2
  3. 一致性
    ˆθnPθ^θnPθ
    1. 无偏, 方差极限为0

区间估计

  1. 基本概念与枢纽变量法

    • 区间估计
      P(ˆθ1<θ<ˆθ1)=1αP(^θ1<θ<^θ1)=1α
      分别为置信下限, 置信上限, 置信系数
    • 计算方法
      1. 找一个样本函数, 包含待估参数, 并且分布已知
      2. 根据此分布, 找到常数aa, bb, 使得
        P(a<U<b)=1αP(a<U<b)=1α
      3. 利用不等式解出θθ范围
    • 双边与单边
      1. 置信度1α1α
      2. 双边需要取α/2α/21α/21α/2
      3. 单边直接用αα1α1α
  2. 正态总体N(μ,σ2)N(μ,σ2)中均值μμ的置信区间

    • σ2σ2已知
      ˉX±uα/2σn¯X±uα/2σn
    • σ2σ2未知
      ˉX±tα/2(n1)×Sn¯X±tα/2(n1)×Sn
  3. 正态总体N(μ,σ2)N(μ,σ2)中方差σ2σ2的置信区间
    ((n1)S2χ2α/2(n1),(n1)S2χ21α/2(n1))((n1)S2χ2α/2(n1),(n1)S2χ21α/2(n1))
  4. 两个正态总体N(μ1,σ21)N(μ1,σ21), N(μ2,σ22)N(μ2,σ22)中均值差μ1μ2μ1μ2的置信区间
    • σ2iσ2i已知
      ˉXˉY±uα/2σ21n1+σ22n2¯X¯Y±uα/2σ21n1+σ22n2
    • σ2iσ2i未知
      ˉXˉY±tα/2(n1+n22)×Sw1n1+1n2¯X¯Y±tα/2(n1+n22)×Sw1n1+1n2
      Sw=(n11)S21+(n21)S22n1n22Sw=(n11)S21+(n21)S22n1n22
  5. 两个正态总体N(μ1,σ21)N(μ1,σ21), N(μ2,σ22)N(μ2,σ22)方差比σ21/σ22σ21/σ22的置信区间
    (S21S221Fα/2(n11,n21),S21S221F1α/2(n11,n21))(S21S221Fα/2(n11,n21),S21S221F1α/2(n11,n21))