第二讲: 空间域图像增强(Part I)
图像内插
- 用已知的数据来估计未知位置的数值
- 按照边角对齐像素点阵, 之后有如下插值方法
最近邻内插法
- 取最近邻像素的灰度为此像素的灰度
双线性内插法
- 4个最近邻进行估计, 解有4个等式组成的方程组
$$v(x,y)=ax+by+cxy+d$$
双三次内插法
- 16个最近邻去估计, 解16个等式组成的方程组
$$v(x,y)=\sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3a_{ij}x^iy^j$$
像素间的基本关系
相邻像素
设$p:(x,y)$为一像素
- 4邻域: 上下左右
$$N_4(p)=(x-1,y), (x+1,y), (x,y-1), (x,y+1)$$ - 4对角邻域: 对角线四个方向
$$N_D(p)=(x-1,y-1), (x-1,y+1), (x+1,y-1), (x+1,y+1)$$ - 8邻域(p): 周围的8个像素
$$N_8=N_4+N_D$$
邻接性
- 定义: 令$V$为用于定义邻接性的灰度值集合
- 二值图像: $V=\{1\}$或$V=\{0\}$
- 非二值图像: 灰度级的子集, 如$V=\{128, 129,\cdots, 255\}$
- $V$集合将灰度级化为2个等价类, 也可认为它将灰度图像染成二值图像
- 4邻接: $q\in N_4(p)$, $q$与$p$的灰度都在$V$中
- 8邻接: $q\in N_8(p)$, $q$与$p$的灰度都在$V$中
- m邻接(混合邻接): $q$与$p$的灰度都在$V$中, 且:
若$q\in N_4(p)$;
或$q\in N_D(p)$, 且$N_4(p)\cap N_4(q)$的灰度都不在集合$V$中
连通性
- 通路: $(x_0=x, y_0=y),(x_1, y_1), \cdots, (x_{N-1}, y_{N-1}),(x_N=s,y_N=t)$
- 相邻的像素点是邻接的
- 长度为$N$
- 若$(x,y)=(s,t)$, 则为闭合通路
- 连通集
- 在$S$中是连通: 取$S$额外i图像中像素的子集. 如果在$S$中全部u像素之间存在一条$p$到$q$的通路, 则说明$p$和$q$在$S$中是连通的
- 连通分量: 对于$S$中任何像素$p$, $S$中连通到该像素的像素集叫做$S$的连通分量
- 连通集: 若$S$仅有一个连通分量, 则$S$叫做连通集
区域
- 区域: $R$为连通集, 则$R$称为区域
- 邻接区域: 如果两个区域联合形成一个连通集, 那么他们是邻接区域
- 假设图像包括$K$个不连接的区域, 即$R_1, R_2, \cdots, R_K$, 且不接触边界
- 前景: $K$个区域的并集$R_u$
- 背景: 其补集$(R_u)^C$
边界
- 一个区域R的边界（也称为边缘或轮廓线）是区域$R$中像素的集合
- 这些点与R补集中的点邻近
- 这些点至少有一个背景邻点
- 用8连通定义
- 边界与边缘
- 边界：一个有限区域的边界（通常）形成一条闭合通路, 是个“整体”概念
- 边缘：具有某些导数值（超过预先设定的阈值）的像素形成, 是个“局部”概念
- 边界只考察其邻点是否属于集合V, 属于二值判断。边缘考察灰度级的差别, 粒度更细。边缘可能不闭合
- 什么时候边缘=边界？二值图像
距离度量
- $D$为距离函数, 若
- $D(p,q)\geq 0$, 且$D(p,q)=0$当且仅当$p=q$
- $D(p,q)=D(q,p)$
- $D(p,z)\leq D(p,q)+D(q,z)$
- 欧式距离
$$D_r(p,q)=\sqrt{(x-s)^2+(y-t)^2}$$ - $D_4$距离(曼哈顿距离)
$$D_4(p,q)=|x-s| + |y-t|$$ - $D_8$距离(棋盘距离)
$$D_8(p,q)=\max(|x-s|,|y-t|)$$
空间域图像增强背景知识
- 增强的首要目标是处理图像, 使其比原始图像更适合于特定应用, 没有通用的理论和标准
- 方法
- 空间域方法: 图像平面本身, 直接处理像素: 离散
- 变换域方法: 频域(傅里叶变换): 连续
空间域->变换域->处理->空间域
- 空间域方法是直接对像素操作的过程
$g(x,y)=T(f(x,y))$
$g$: 输出图像; $T$: 操作算子, 定义在$(x,y)$的邻域; $f$: 原始图像边界: 忽略外部, 填充
- 类型
- 空间滤波
- 空间滤波器: 邻域, 预定义的操作
- 灰度变换
- 邻域大小为1的空间滤波
- 灰度变换函数$s=T(r)$
- 函数可以存储在一维数组, 查表实现映射
- 空间滤波
基本灰度变换
- 线性函数
- 图像反转公式: $s=L-1-r$, $L=2^b$
- 改变分析图象的难易
- 对数函数
- 低灰度值拉伸, 高灰度值压缩: $s=c\log(1+r)$
- 看到更多细节
- 幂律函数
- 伽马变换: $s=cr^\gamma$
- 更接近真实值(显示器)
- 调节参数$\gamma$可以在细节和对比度当中权衡
分段线性函数
折线: $(0,0)->(r_1,s_1)->(r_2,s_2)->(L-1, L-1)$
- 对比拉伸变换: 单调递增
- 线性函数: $s_1=r_1$, $s_2=r_2$
- 阈值处理函数: $r_1=r_2$, $s_1=0$, $s_2=L-1$
- 灰度级分层: 突出特定灰度范围的亮度
1
2
3+---+
| |
---+ +---
比特平面分层
- 突出特定比特的作用: 8比特图像可认为有8个1比特平面组成
- 高阶比特: 视觉上重要的数据
- 低阶比特: 精细的灰度细节
- 函数实现: 第$n$比特平面: $r=(s>>(n-1)) \& 1$
- 应用: 确定量化该图像比特数的充分性, 图像压缩(伪轮廓)
直方图处理
- 灰度直方图$H(D)$
- 横坐标: 灰度级
- 纵坐标: 该灰度级出现的频率(此灰度级像素的数量)
- 阈值面积函数$A(D)$
- 连续图像中具有灰度级$\geq D$的轮廓线所包围的面积
$$A(D)-\int_D^\infty H(p)dp$$
- 连续图像中具有灰度级$\geq D$的轮廓线所包围的面积
- 概率密度函数(PDF)
- 归一化到单位面积的直方图
$$PDF=P(D)=\frac{1}{A_0}H(D)$$
- 归一化到单位面积的直方图
- 累计分布函数(CDF)
- 归一化后灰度级$\geq D$的轮廓线所包围的面积
$$CDF=P(D)=\inf_0^Dp(u)du=\frac{1}{A_0}H(u)du$$
- 归一化后灰度级$\geq D$的轮廓线所包围的面积
- 严格的数学定义
$$H(D=\lim_{\delta D\to 0}\frac{A(D)-A(D+\delta D)}{D+\delta D-D}=\lim_{\delta D\to 0}\frac{A(D)-A(D+\delta D)}{\delta D}=-\frac{d}{dD}A(D)$$- 数字图像时, 简化为
$$H(D)=A(D)-A(D+1)$$
- 数字图像时, 简化为
- 实现
- 初始化hist[k]=0; k=0, …, L-1
- 统计hist[f(x,y)]++; x=0, …, M-1; y=0, …,N-1
- 归一化hist[f(x,y)]/(M*N)
- 应用
- 图像快速检测: 是否合理的利用了全部被允许的灰度级范围, 从而及早发现数字化中出现的问题
- 分割前景背景: 双峰直方图, 取低谷灰度值作为分割点
- 面积计算: 类似前景背景, 用直方图计数像素
第三讲: 空间域图像增强(Part II)
直方图均衡化
- 直方图均匀分布时, 对比度会有明显增强
- 通过灰度变换函数, 将原图像直方图的分布均衡化, 这一过程称为直方图均衡化用灰度变换函数让直方图均匀分布
- 线性运算: $s=T(r)=a\times r + b$
- 灰度变换函数与直方图
- 输入图像的概率密度: $p_r(r)$; 输出图像的概率密度: $p_s(s)$; 变换函数$T$
这里只考虑单调递增函数
- 单调连续函数
- $r\in [0,L-1]$
$$s=T(r)$$- $T(r)$在区间$[0,L-1]$内是单调递增函数
- 当$0\leq r\leq L-1$时, $0\leq T(r)\leq L-1$
- 更强的假设
- $T(r)$在区间$[0,L-1]$是严格单调递增函数, 此时有逆函数
$$r=T^{-1}(s)$$
- $T(r)$在区间$[0,L-1]$是严格单调递增函数, 此时有逆函数
- $r\in [0,L-1]$
- 概率密度公式
$$p_s(s)=p_r(r)|\frac{dr}{ds}|=p_r(r)|(\frac{ds}{dr}06{-1}|=p_r(T^{-1}(s))|\frac{1}{T’(T^{-1}(s))}|$$
- 输入图像的概率密度: $p_r(r)$; 输出图像的概率密度: $p_s(s)$; 变换函数$T$
- 连续函数
- 设计$T(r)$, 使得$p_s(s)$是均匀分布
$$s=T(r)=(L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$
- 设计$T(r)$, 使得$p_s(s)$是均匀分布
- 离散直方图
$$s_k=T(r_k)=(L-1)\sum_{j=0}^k p_r(r_j)$$直方图匹配(规定化)
- 处理后的图像具有某种指定的直方图形状
- 这种用于产生处理后有特殊直方图的图像的方法, 叫做直方图匹配或直方图规定化处理
- 以均衡化直方图为桥梁: A:$p_r(r)$–>B(均衡化图像):$p_s(s)$–>C:$p_z(z)$
- 输入图像灰度值概率密度$p_r(r)$
$$s=T(r)=(L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$ - 指定灰度值概率密度$p_z(z)$
$$G(z)=(L-1)\int_0^zp_z(t)dt=s$$ - 反函数唯一
$$z=G^{-1}(s)=G^{-1}(T(r))$$
- 输入图像灰度值概率密度$p_r(r)$
- 离散直方图
- 特性
- 整体处理, 小细节易被忽略
- 只希望对局部进行增强
- 图像中每个像素的邻域中灰度分布为基础设计变换函数
- 步骤
- 局部均值
$$m_{s_{xy}}=\sum_{i=0}^{L-1}r_ip_{s_{xy}}(r_i)$$ - 局部方差
$$\sigma^2_{s_{xy}}=\sum_{i=0}^{L-1}(r_i-m_{s_{xy}})^2p_{s_{xy}}(r_i)$$ - 局部直方图统计增强
$$g(x,y)=\begin{cases}
E\cdot f(x,y) &\textrm{if }m_{s_{xy}}\leq k_0m_G\textrm{ AND }k_1\sigma_G\leq \sigma_{s_{xy}}\leq k_2\sigma_G \\
f(x,y) &\textrm{otherwise}
\end{cases}$$
第四讲: 空间域图像增强(Part III)
空间滤波
空间滤波基础
- 空间滤波机理
- 空间滤波器
- 邻域(矩形)
- 预定义的操作
- $m\times n$的模板
- $m=2a+1$, $n=2b+1$
- 最小为$3\times3$
- 滤波操作
- 线性滤波<->频率域滤波
- 空间滤波器
- 空间相关与卷积
- 相关: 平移滤波器模板, 计算每个位置乘积求和
- 补零, 计算, 滑动, 裁剪
- [补公式]
- 寻找匹配: 归一化乘积(向量长度为1), 值最大时, 图像与模板相同
- 卷积: 滤波器要旋转180, 其他与相关相同
- 旋转, 补零, 计算, 滑动, 裁剪
- [补公式]
- 线性滤波的向量表示: 矩阵相乘拉成向量相乘
- 相关: 平移滤波器模板, 计算每个位置乘积求和
- 空间滤波器模板
- 均值滤波器
- 优点: 降低噪声; 缺点: 边缘模糊
- 先求和, 再归一化(先乘全1矩阵, 后除以9)
- 加权线性滤波器
- 非均匀权重, 降低模糊
- 非线性滤波器
- 对滤波器覆盖的像素排序, 排序决定的值替代中心线像素
- 中值滤波器, 最大值滤波器, 最小值滤波器
锐化空间滤波器
突出灰度的过渡部分 - 数学基础
- 微分取值
||恒定灰度|恒定斜率|突变|
|-|-|-|-|
|一阶微分|0|非0|非0|
|二阶微分|0|0|非0| - 使用二阶微分对图像锐化
- 微分取值
- 各向同性滤波器
- 拉普拉斯算子
- 标准形式: 四角0, 四边1, 中间-4
- 对角形式: 四角四边1, 中间-8
- 拉普拉斯算子的结果叠加到图像中, 取中心系数为-1
- 非锐化掩蔽
- 模糊图像, 原图减去模糊图像得到模板, 加到原图像
- 梯度
- 利用梯度的大小
- 梯度: 最大变化率的方向
$$\nabla f\equiv\mathrm{grad}(f)\equiv \begin{bmatrix} g_x \\ g_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}$$ - 大小:
$$M(x,y)=\mathrm{mag}(\nabla f)=\sqrt{g_x^2 + g_y^2}\approx |g_x|+|g_y|$$
- 梯度: 最大变化率的方向
- 梯度的离散近似
- 利用梯度的大小
- 综合使用各种增强方法
算术操作增强
像素对像素为基础, 在两幅或多幅图像之间进行
- 加法
- 定理: 对M幅加性噪声图像进行平均, 可以使图像的平方信噪比提高M倍
- 减法
- 图像差别的细节被观察到
- 乘法：通常用来进行掩模运算
- 除法：通常可以用来归一化
第五讲: 空间域图像增强(Part IV)
集合操作
灰度图像的集合操作
- 灰度图像集合$A$, 其元素为三元组$(x,y,z)$
- 补集
$$A^C=\{(x,y,K-z)|(x,y,z)\in A\}$$ - 并集
$$A\cup B=\{\max_{z}(a,b),a\in A,b\in B\}$$
逻辑操作
- 针对二值图像: 前景1, 背景0
- OR(集合并), AND(集合交), NOT(集合补)逻辑操作
- 减(属于A不属于B)
- XOR操作
- 功能完备操作: AND OR NOT三者可表达其他操作
空间操作
单像素操作: 改变单个像素的灰度
灰度变换: $s=T(z)$
邻域操作: 由输入像素的邻域像素决定
空间滤波: $g(x,y)=\frac{1}{mn}\sum_{(r,c)\in S_{xy}}f(r,c)$
几何变换
- 橡皮膜操作: 在橡皮膜上印刷图像, 然后拉伸橡皮膜
- 两个独立算法
- 空间变换
- 每个左边点变换到新坐标点$(x,y)=T\{(v,w)\}$, 可能不在网格点上
- 需要满足: 相邻输入产生相邻输出(保持曲线连续性和物体连通性)
- 仿射变换
$$\begin{cases}
x &= t_{11}v + t_{21}w+t_{31}\\
y &= t_{12}v + t_{22}w+t_{32}\\
\end{cases}$$
$$\begin{bmatrix}
t_{11} &t_{11} &0\\
t_{21} &t_{21} &0\\
t_{31} &t_{31} &1
\end{bmatrix}$$- $t_{31}$, $t_{32}$平移
- $t_{11}$, $t_{22}$伸缩比例
- $t_{12}$, $t_{21}$倾斜
- 保持共线性, 保持距离比例(线的中心变换后依然是中心)
- 基本仿射变换: 恒等, 平移, 旋转, 伸缩, 倾斜(x), 倾斜(y)
- 复杂仿射变换: 简单仿射变换矩阵的乘积(右乘)
- 逆仿射变换: 需要每个仿射变换均可逆(基本仿射变换均可逆)
- 图像配准
- 具体问题
- 图像B中的$n$个点
$$P=\begin{bmatrix}
v_0 &w_0 &1\\
v_1 &w_1 &1\\
\cdots &\cdots &1\\
v_{n-1} &w_{n-1} &1\\
\end{bmatrix}$$ - 图像A中的$n$个点
$$Q=\begin{bmatrix}
x_0 &y_0 &1\\
x_1 &y_1 &1\\
\cdots &\cdots &1\\
x_{n-1} &y_{n-1} &1\\
\end{bmatrix}$$ - 寻找最优仿射变换
$$Q=PT$$ - 求解线性方程
- 求解最小二乘
$$\min_{t}||Q-PT||^2_F$$- 闭合解
$$T=(P^TP)^{-1}P^TQ$$
- 闭合解
- 图像B中的$n$个点
- 一般流程
- 建模: 双线性近似(8个参数)
$$\begin{cases}
x &= c_1v + c_2w + c_3vw + c_4\\
y &= c_5v + c_6w + c_7vw + c_8\\
\end{cases}$$ - 寻找约束点: 4个约束点, 8个方程, 求解方程组
- 执行映射: 灰度内插
- 增加约束点: 原图分成多个四边形, 逐个处理
- 建模: 双线性近似(8个参数)
- 具体问题
- 空间变换
灰度内插
- 前向映射
- 根据输入$(v,w)$计算$(x,y)=T\{(v,w)\}$
- 将该像素的灰度值分配给相邻的四个网格位置
- 反向映射
- 根据输出$(x,y)$寻找输入$(v,w)=T^{-1}\{(x,y)\}$, 灰度内插, 更加有效
- 找到相关的四个源像素灰度值, 据此计算该点的灰度值
- 插值方法
- 最邻近: 选取最邻近的那个点的灰度, 直接使用
- (1维函数)线性内插: 某一邻近点所占比重, 为距离的倒数
- 双线性内插(4邻点)
- 方法1
- 先在x方向, 两两线性内插, 得到的2个点再在y方向线性内插
$$f(x,y)=\frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}\begin{bmatrix}
x_2-x &x-x_1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
f(Q_{11}) &f(Q_{12})\\
f(Q_{21}) &f(Q_{22})
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
y_2-y\\
y-y_1
\end{bmatrix}$$
- 先在x方向, 两两线性内插, 得到的2个点再在y方向线性内插
- 方法2
- 灰度值表示为坐标的函数
$$f(x,y)\approx a_0+a_1x+a_2y+a_3xy$$ - 用周围4个点求解这些系数, 之后带入x,y即可
- 解出来是一大堆东西, 不抄了, 值应当与方法1是一致的
- 灰度值表示为坐标的函数
- 方法1
- 双三次内插
- 方法1(4邻点)
- 使用以下4个公式, 用4个邻点列出16个方程
$$\begin{cases}
p(x,y) &= \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3a_{ij}x^iy^j\\
p_x(x,y) &= \sum_{i=1}^3\sum_{j=0}^3a_{ij}ix^{i-1}y^j\\
p_y(x,y) &= \sum_{i=0}^3\sum_{j=1}^3a_{ij}x^ijy^{j-1}\\
p_{xy}(x,y) &= \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}
\end{cases}$$
- 使用以下4个公式, 用4个邻点列出16个方程
- 方法2(16邻点)
- 只用第一个公式, 带入16个邻点求解系数, 再带回x,y
- 方法1(4邻点)
第六讲: 频率域图像增强(Part I)
背景
- 图像增强方法比较
- 空间域方法: 图像平面本身, 对像素直接处理
- 频率域方法: 修改图像的频谱, 例如傅里叶变换为基础
- 图像是连续信号的量化采样
- 信号通常包括丰富的频域信息
- 傅里叶级数
- 周期函数: 表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数 加权之和
- 非周期函数: 表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数 加权之后的积分
- 意义: 频域信息如何表示, 热扩散, 信号处理
基本概念
复数$C$
- 一般表示
$$C=R+jH$$
$R,H\in\mathbb{R}, i=\sqrt{-1}$ - 极坐标表示
$$C=|C|(\cos\theta +j\sin\theta)$$
$|C|=\sqrt{R^2+I^2}$为长度, $\theta$为夹角 - 欧拉公式
$$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$$ - 极坐标表示
$$C=|C|e^{j\theta}$$ - 共轭
$$C^*=R-jI$$ - 复函数
$$F(u)=R(u)+jI(u)$$
幅值$|F(u)|=\sqrt{R(u)^2+I(u)^2}$
角度$\theta=\arctan(I(u)/R(u)),[-\pi,\pi]$ - 复共轭函数
$$F(u)=R(u)-jI(u)$$
冲激与采样
- 连续冲激与采样
- 在0处的连续单位冲激
$$\delta(t)=\begin{cases}
\infty\quad&\text{if }t=0\\
0\quad &\text{if }t\ne0
\end{cases}$$
并且满足
$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$$- 采样性质
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt=f(0)$$
- 采样性质
- 在$t_0$处的连续单位冲激
$$\delta(t-t_0)=\begin{cases}
\infty\quad&\text{if }t=t_0\\
0\quad &\text{if }t\ne t_0
\end{cases}$$
并且满足
$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)dt=1$$- 采样性质
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)$$
- 采样性质
- 在0处的连续单位冲激
- 离散冲激与采样
- 在0处的离散单位冲激
$$\delta(x)=\begin{cases}
1\quad&\text{if }x=0\\
0\quad &\text{if }x\ne 0
\end{cases}$$
并且满足
$$\sum_{x=-\infty}^\infty\delta(x)=1$$- 采样性质
$$\sum_{x=-\infty}^\infty f(x)\delta(x)=f(0)$$
- 采样性质
- 在$x_0$处的离散单位冲激
$$\delta(x-x_0)=\begin{cases}
1\quad&\text{if }x=x_0\\
0\quad &\text{if }x\ne x_0
\end{cases}$$
并且满足
$$\sum_{x=-\infty}^\infty\delta(x-x_0)=1$$- 采样性质
$$\sum_{x=-\infty}^\infty f(x-x_0)\delta(x)=f(x_0)$$
- 采样性质
- 在0处的离散单位冲激
- 冲激串: 无穷个以$\Delta T$为间距的周期性冲激之和
$$s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n\Delta T)$$
傅里叶变换
傅里叶级数
- 周期为$T$的连续函数$f(t)$可以表示为正弦和余弦函数的加权之和
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{j\frac{2\pi n}{\tau}t}$$
其中
$$c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}dt$$ - 连续傅里叶变换
$$F(\mu)=\mathfrak{J}\{f(t)\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j2\pi\mu t}dt$$ - 傅里叶变换对
变换
$$F(\mu)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j2\pi\mu t}dt$$
反变换
$$f(t)=\int_{-\infty}^\infty F(\mu)e^{j2\pi\mu t}d\mu$$ - 对称性
$f(t)$—>$F(\mu)$—>$f(-t)$—>$F(-\mu)$ - 傅里叶变换的幅值
$|F(\mu)|=AT\mathfrak{J}$
$$\mathfrak{J}\{f(t)\}=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{j\frac{2\pi n}{T}t}$$ - 冲激串的傅里叶变换还是冲激串
卷积定理
- 离散卷积
- 旋转: 其中一个向量旋转180度
- 补零
- 计算+滑动
- 裁剪
- 连续函数的卷积
$$f(t)\star h(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)h(t-\tau)d\tau$$
$t$是位移, $-$表示反转 - 卷积定理
$$\mathfrak{J}\{f(t)\star h(t)\}\Leftrightarrow H(\mu)F(\mu)$$
采样
函数采样
- 连续函数采样
- 函数相乘
$$\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-\Delta T)$$ - 采样值
$$f_k=f(k\Delta T)$$
- 函数相乘
采样定理
- 采样后函数的傅里叶变换
- 采样后函数
$$\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-\Delta T)$$ - 卷积定理
$$\tilde{F}(\mu)=\mathfrak{J}\{\tilde{f}(t)\}=\mathfrak{J}\{f(t)s_{\Delta T}(t)\}=F(\mu)\star S(\mu)$$
其中
$$S(\mu)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})$$ - 化简
$$\tilde{F}(\mu)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^\infty F(\mu-\frac{n}{\Delta T})$$
- 采样后函数
- 采样定理
- 带限函数$f(t)$
傅里叶变换后非0频率属于$[-\mu_{max},\mu_{max}]$
如果
$$\frac{1}{2\Delta T}>\mu_{max}\Leftrightarrow \frac{1}{\Delta T}>2\mu_{max}$$
就可以从$\tilde{F}$中分理出$F$, $2\mu_{max}$为奈奎斯特频率
- 带限函数$f(t)$
- 混淆
- 欠采样: 带限函数以低于奈奎斯特频率采样
无法分离, 无法补救++ - 无法避免: 函数带限, 但采样依然是有限的, 有限长度采样引入无限频率分量
- 欠采样: 带限函数以低于奈奎斯特频率采样
- 抗混淆
- 平滑输入函数, 减少高频分量(图像散焦)
函数恢复
由样本恢复函数
$$\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-n\Delta T)$$
$$h(t)=\frac{\sin(\pi t/\Delta T)}{\pi t/\Delta T}$$
函数内插
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(n\Delta T)\text{sinc}((t-n\Delta T)/n\Delta T)$$连续函数采样
采样是有限的带限函数一定是$-\infty$到$\infty$的
有限长度的采样, 混淆是不可避免的平滑输入函数, 减少高频分量(图像散焦)
第七讲: 频率域图像增强(Part II)
离散傅里叶变换(一维)
采样后函数的傅里叶变换
- 周期函数
- 采样后函数
$$\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-\Delta T)$$ - 卷积定理
$$\begin{aligned}
\tilde{F}(\mu)&=\mathfrak{J}\{\tilde{f}(t)\}=\mathfrak{J}\{f(t)s_{\Delta T}(t)\}=F(\mu)\star S(\mu)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)S(\mu-\tau)d\tau
\end{aligned}$$ - 冲激串的傅里叶变换还是冲激串
$$\begin{aligned}
\tilde{F}(\mu)&=\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)S(\mu-\tau)d\tau\\
&=\frac{1}{\Delta T}\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sigma(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T})d\tau\\
&=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\sigma(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T})d\tau\\
&=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{n}{\Delta T})d\tau
\end{aligned}$$
- 采样后函数
- 连续函数
- 采样后函数
$$\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-\Delta T)$$ - 傅里叶变换
$$\begin{aligned}
\tilde{F}(\mu) &= \int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(t)e^{-j2\pi \mu t}dt\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\sigma(t-n\Delta T)e^{-j2\pi \mu t}dt\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sigma(t-n\Delta T)e^{-j2\pi \mu t}dt\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta T)e^{-j2\pi \mu n\Delta T}
\end{aligned}$$
- 采样后函数
- 离散傅里叶变换对: 不依赖采样间隔/频率间隔
$$\mu=\frac{m}{M\Delta T}$$- 离散傅里叶变换
$$F(u)=\sum_{n=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M},\quad u=0,1,2,\cdots,M-1$$ - 离散傅里叶反变换
$$f(x)=\sum_{n=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M},\quad u=0,1,2,\cdots,M-1$$ - 离散卷积: 对于周期函数, 也叫循环卷积; 卷积定理依然成立
$$f(x)\star h(x)=\sum_{m=0}^{M-1}f(m)h(x-m)$$
- 离散傅里叶变换
- 采样间隔和频率间隔
